===== Функциональная система аксиом на гладких многообразиях =====

Пусть имеются два множества $ {}^{} \mathfrak M $ и $ {}^{} \mathfrak{N}$, являющиеся $sm $ -- мерным и $sn$ -- мерным многообразиями, где $ s, m $ и $ n $ --- натуральные числа, точки которых будем обозначать строчными латинскими и греческими буквами соответственно, а также функция ${}^{} f:\ \mathfrak{S}_{f}\rightarrow \mathbb{R}^{s}$, где ${}^{} \mathfrak{S}_{f}\subseteq \mathfrak{M}\times \mathfrak{N}$, сопоставляющая каждой паре ${}^{} i\times \alpha \in \mathfrak{S}_{f}$ совокупность вещественных чисел ${}^{} f(i\alpha )=(f^{1}(i\alpha ),\ldots ,f^{s}(i\alpha ))\in \mathbb{R}^{s}$. Заметим, что в общем случае ${}^{} \mathfrak{S}_{f}\neq \mathfrak{M}\times \mathfrak{N}$, то есть функция ${}^{} f $ не всякой паре из ${}^{} \mathfrak{M} \times \mathfrak{N}$ сопоставляет набор из $ {}^{} s $ чисел. Обозначим через ${}^{} U(i)$ и ${}^{} U(\alpha )$ окрестности точек 
${}^{} i \in \mathfrak{M}$ и ${}^{} \alpha \in \mathfrak{N}$, через ${}^{} U(i\alpha )$ -- окрестность пары ${}^{} i \times \alpha \in \mathfrak{M} \times \mathfrak{N}$ и, аналогично, окрестности кортов из других прямых произведений множеств ${}^{} \mathfrak{M}$ и ${}^{} \mathfrak{N}$ на себя или друг на друга.

Для некоторых кортов $ {}^{} \langle k_{1} \ldots k_{n} | \in \mathfrak{M}^{n} $ и 
${}^{} |  \gamma _{1} \ldots \gamma _{m} \rangle \in \mathfrak{N}^{m}$ введем функции $ {}^{} f^{n} = f[k_{1} \ldots k_{n}]$ и $ {}^{} f^{m} = f[\gamma _{1}\ldots \gamma _{m}] $, сопоставляя точкам $ {}^{} i \in \mathfrak{M} $ и $ \alpha \in \mathfrak{N} $ точки $ {}^{} (f(k_{1} \alpha ), \ldots , f(k_{n} \alpha )) \in \mathbb{R}^{sn} $ и $ {}^{} (f(i\gamma _{1}), \ldots , f( i \gamma _{m} )) \in \mathbb{R}^{sm} $, если пары $ {}^{} k_{1} \times \alpha , \ldots , k_{n} \times \alpha $ и $ {}^{} i \times \gamma _{1}, \ldots , i \times \gamma _{m}$ принадлежат $ {}^{} \mathfrak{S}_{f} $. Заметим, что функции ${}^{} f^{m} $ и $ {}^{} f^{n}$ не обязательно определены всюду на множествах $ {}^{} \mathfrak{M} $ и $ {}^{} \mathfrak{N}$. Будем предполагать выполнение следующих трёх аксиом:

----

**Аксиома II**. //Область определения // ${}^{} \mathfrak{S}_{f}$ //функции // $ {}^{} f $ //есть открытое и плотное в // ${}^{} \mathfrak{M}\times \mathfrak{N} $ // множество//.

**Аксиома III**. //Функция // $ {}^{}f $ //в области своего определения есть достаточно гладкая функция.//

**Аксиома IV**. //В // ${}^{} \mathfrak{M}^{n}$ // и // ${}^{} \mathfrak{N}^{m}$
//плотны множества таких кортов длины // $ n $ // и // $ m $, // для которых функции // ${}^{} f^{n}$ // и // ${}^{} f^{m}$ // имеют максимальные ранги, равные // $ n $ // и // $ m $, // в точках плотных в // ${}^{} \mathfrak{N}$ // и //${}^{} \mathfrak{M}$ // множеств соответственно.//

----

Достаточная гладкость означает, что в области своего определения непрерывна как сама функция ${}^{} f $, так и все её производные достаточно высокого порядка. Заметим также, что ограничения в аксиомах II, III, IV открытыми и плотными подмножествами связаны с тем, что исходные множества могут содержать исключительные подмножества меньшей размерности, где эти аксиомы не выполняются.

Введём ещё функцию $ {}^{} F $, сопоставляя бикору $ {}^{} \langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle $ длины $ n+m+2 $ из ${}^{} \mathfrak{M}^{n+1}\times
\mathfrak{N}^{m+1}$ точку ${}^{} (\langle i|\alpha \rangle ,\langle i|\beta
\rangle ,\ldots ,\langle v|\tau \rangle )\in \mathbb{R}^{s(n+1)(m+1)}$, координаты которой в ${}^{} \mathbb{R}^{s(n+1)(m+1)}$ определяются упорядоченной по исходному бикорту последовательностью значений функции ${}^{} f$ для всех пар его элементов: ${}^{} i\times \alpha ,i\times \beta ,\ldots ,v\times \tau $, если эти пары принадлежат ${}^{} \mathfrak{S}_{f}$. Область определения введённой функции есть, очевидно, открытое и плотное в ${}^{} \mathfrak{M}^{n+1}\times \mathfrak{N}^{m+1}$ множество, которое обозначим через ${}^{} \mathfrak{S}_{F}$.

**Определение 1.** Будем говорить, что функция $ {}^{} f $, удовлетворяющая аксиомам II, III, IV, задает на $ sm $ -- мерном и $ sn $ -- мерном многообразиях $ {}^{} \mathfrak{M}$ и ${}^{} \mathfrak{N} \ \ s$ // -- метрическую физическую структуру ранга // $(n+1,m+1),$ если выполняется аксиома:
----

**Аксиома I**. //Существует плотное в // ${}^{} \mathfrak{S}_{F}$ // множество такое, что для каждого бикорта // ${}^{} \langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle $ // длины // $m+n+2$ // и некоторой его окрестности // ${}^{} U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )$ // найдётся такая достаточно гладкая функция // ${}^{} \Phi :{\mathcal{E}}\rightarrow \mathbb{R}^{s}$, //определённая в  некоторой области // ${}^{}
 {\mathcal{E}}\subset \mathbb{R}^{s(m+1)(n+1)}$, // содержащей точку // $F(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )$, //что в ней // $rang \Phi =s$ // и множество // ${}^{} F(U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle ))$ // является подмножеством множества нулей функции // ${}^{} \Phi $, //то есть //
$ {}^{} \Phi (\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma \ldots \tau \rangle )=0 $
//для всех бикортов из // ${}^{} U(\langle ijk\ldots v|\alpha \beta \gamma
\ldots \tau \rangle )$.

----

Аксиома I составляет содержание __**принципа феноменологической симметрии в теории физических структур**__, предложенной Ю.И. Кулаковым. 

Уравнения ${}^{} \Phi =0$ задают $ s $ функциональных связей между $s(m+1)(n+1)$ измеряемыми в опыте значениями физических величин ${}^{} f=(f^{1},\ldots ,f^{s})$ и являются аналитическим выражением физического закона, записанного в феноменологически инвариантной форме. 

Условие ${}^{} \text{rang}\ \Phi =s$ означает, что уравнения ${}^{} \Phi =0$ (то есть ${}^{} \Phi _{1}=0,\ldots ,\Phi _{s}=0$) независимы.