=====Групповая система аксиом ФС=====

Групповая симметрия физических структур и её эквивалентность феноменологической симметрии были
установлены Михайличенко Г.Г. в 1985 году ((**Михайличенко Г.Г.** {{ru:mix:articles:дан_284_1985_1.pdf|Феноменологическая и групповая симметрии в геометрии двух множеств (теории физ. структур)}}. ДАН СССР, 1985, т. 284, № 1, стр. 39--41., опубликована в ДАН по представлению академика А.Д. Александрова, а соответствующие полные доказательства можно найти в монографии **Михайличенко Г.Г.** //{{ru:mix:articles:mgg1997.pdf|Математический аппарат теории физических структур}}.// Горно--Алтайск: Универ--Принт ГАГУ, 1997, с. 154.)).

Под локальным движением в геометрии двух множеств $ {}^{} \mathfrak{M} $  и $  {}^{} \mathfrak{N} $  будем понимать такую пару взаимно однозначных гладких отображений:

| (1) |$   {}^{} \lambda :U\rightarrow U^{\prime }\ \text{и}\ \sigma :V\rightarrow V^{\prime },  \label{mix1-5} $  |
где ${}^{} U,U^{\prime }\subset \mathfrak{M}$ и ${}^{} V,V^{\prime }\subset \mathfrak{N}$ --- открытые области, при которых функция $  {}^{} f $  сохраняется. Последнее означает, что для каждой пары $  {}^{} i \times \alpha \in \mathfrak{S}_{f} $ , такой что $  {}^{} i \in U,\ \alpha \in V $  и $  {}^{} i^{\prime }\times \alpha ^{\prime }\ \in 
\mathfrak{S}_{f} $ , где $  {}^{} i^{\prime }=\lambda (i)\in U^{\prime } $, 
$  {}^{} \alpha ^{\prime }=\sigma (\alpha )\in V^{\prime } $ , имеет место равенство
| (2) |$  {}^{} \langle \lambda (i)|\sigma (\alpha )\rangle =\langle i|\alpha \rangle .$ |

Множество всех движений (1) есть локальная группа, для которой функция $ {}^{}  f $ , согласно 
равенству (2), является двухточечным инвариантом. 
Преобразования $  {}^{} \lambda  $  и $  {}^{} \sigma  $  в движениях (1) сами 
составляют две отдельные группы, а группа движений есть их взаимное расширение. 
Если функция $ {}^{}  f $  известна, то равенство (2) представляет собой 
функциональное уравнение относительно преобразований $  {}^{} \lambda  $  и 
$ {}^{}  \sigma  $ . Если же о функции $ {}^{}  f $  [[ru:common:аксиомы_фс_1|известно]] только, 
что она невырождена и феноменологически инвариантна, то есть, удовлетворяет некоторой 
системе $  {}^{} s $  независимых уравнений
$ {}^{} \Phi _1= 0,\ldots , \Phi _s= 0$, то этого, оказывается, достаточно для установления факта 
существования группы ее движений, зависящей от $  {}^{} s m n $  параметров.

**Определение 2.** Будем говорить, что функция $ {}^{}  f=(f^{1},\ldots ,f^{s}) $, 
удовлетворяющая аксиомам II, III, IV, задаёт на $ sm $ -- мерном и $ sn $ -- 
мерном многообразиях $  {}^{} \mathfrak{M} $  и $  {}^{} \mathfrak{N} $  $ {}^{} s $ -- 
метрическую геометрию, наделённую групповой симметрией степени $  {}^{} smn $, 
если дополнительно выполняется следующая аксиома:

**Аксиома I'.** Существуют открытые и плотные в $  {}^{} \mathfrak{M}
$  и $ {}^{}  \mathfrak{N} $  множества, для всех точек $ {}^{}  i $  и $  {}^{} \alpha  $  
которых определены эффективные гладкие действия $  {}^{} smn $ -- мерной 
локальной группы Ли в некоторых окрестностях $  {}^{} U(i) $  и $  {}^{} U(\alpha ) 
$ , такие, что действия её в окрестностях $  {}^{} U(i),U(j) $  и 
$ U(\alpha ),U(\beta ) $  точек $ i,j $  и $  {}^{} \alpha ,
\beta  $  совпадают в пересечениях $ U(i)\cap U(j) $  и 
$ {}^{}  U(\alpha )\cap U(\beta ) $  и что функция $ {}^{}  f $ 
является двухточечным инвариантом по каждой из своих $  {}^{} s $  компонент.

Группы преобразований, о которых говорится в аксиоме I', определяют 
своеобразную локальную подвижность жестких фигур (//твердых тел//) в 
пространстве $  {}^{} \mathfrak{M}\times \mathfrak{N} $  с 
$  {}^{} smn $  степенями свободы.