=====Полиметрические физические структуры=====

Расширение понятия ФС на полиметрические ФС вполне оправданно, когда каждой 
паре $ {}^{} i\times \alpha \in \mathfrak{S}_{f}\subseteq \mathfrak{M}\times
\mathfrak{N} $ сопоставляется совокупность $ s $ -- 
вещественных чисел $  {}^{} \langle i|\alpha \rangle =f(i\times \alpha )=
(f^{1}(i\alpha ),\ldots ,f^{s}(i\alpha ))\in \mathbb{R}^{s} $. 
Действительно, в приведённом во введении примере с законом Ома, его 
истинность будет и в случае переменных токов, но тогда требуется провести 
одновременно не одно, а два измерения, что эквивалентно
$  {}^{} s=2 $. Кроме того, во введении приведён пример построения 
термодинамики при помощи двух измеряемых на опыте работ цикла Карно. 
И если двуметрический аналог закона Ома можно записать через комплексные числа, то
в двуметрической записи термодинамики такой переход невозможен.

Для случаев $  {}^{} B=\mathbb{R}^{2} $, $ {}^{}  \mathbb{R}^{3} $ и $  {}^{} \mathbb{R}^{4} $
($ s=2,3 $ и $ 4 $) полной классификации решений, с точностью до //локальной эквивалентности//, получить не удалось и, по этой причине, исследовались только частные 
случаи. Для двуметрической ФС ранга $ (2,n) $ 
установлено ((**Михайличенко Г.Г.** Двуметрические физические структуры и 
комплексные числа. ДАН 1991, том 321, № 4, с. 677--680.)), что решение существует только при $ n=2,3,4,5 $, 
при этом были найдены все возможные отображения --- $  {}^{} f=(f^{1},f^{2}) $. 
Также были полностью найдены все триметрические ((**Михайличенко Г.Г.** Простейшие полиметрические геометрии. ДАН 1996, том 348, № 1, с. 22--24.)) 
и четыреметрические ((**Кыров В.А. ** {{:ru:autors:kurov:kurov:articles:2008ivm1507.pdf |Классификация четырехмерных транзитивных локальных групп Ли преобразований пространства}} $  {}^{} \mathbb{R}^{4}$ и их двухточечных инвариантов}. Известия вузов. Математика. 2008, \No 6, с. 29--42.)) ФС ранга $ (2,2) $. Ниже приведём 
====Двуметрические решения ФС:====

для $ n=1 $, то есть ранга $ (2,2) $:

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}+\xi _{1},\ f^{2}=x_{2}+\xi _{2};
$

$ {}^{} 
f^{1}=(x_{1}+\xi _{2})x_{2},\ f^{2}=(x_{1}+\xi _{1})\xi _{2};
$

для $ n=2 $, то есть ранга $ (3,2) $:

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi
_{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4},\ \varepsilon =0,\pm 1,  \label{2m-711}
$

|(1)|$ {}^{}  f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}|\xi _{1}|^{c}+\xi _{4} $ |

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}\xi _{1}+\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi
_{1}^{2}+x_{1}^{2}\xi _{1}^{2}\ln |\xi _{1}|+\xi _{4},  \label{2m-713}
$

|(2) |$  {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4};$ |

для $ n=3 $, то есть ранга $ (4,2) $:

$ {}^{} 
\begin{array}{c}
f^{1}=\frac{(x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3})(x_{1}+\xi
_{5})-\varepsilon (x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4})(x_{2}+\xi _{6})}{(x_{1}+\xi _{5})^{2}-\varepsilon (x_{2}+\xi _{6})^{2}}, \\
f^{2}=\frac{(x_{1}\xi _{1}+\varepsilon x_{2}\xi _{2}+\xi _{3})(x_{2}+\xi
_{6})-(x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+\xi _{4})(x_{1}+\xi _{5})}{(x_{1}+\xi
_{5})^{2}-\varepsilon (x_{2}+\xi _{6})^{2}},
\end{array}
$

где $  {}^{} \varepsilon =0,\pm 1 $,

$ {}^{} 
f^{1}=\frac{x_{1}\xi _{1}+\xi _{3}}{x_{1}+\xi _{5}},\ f^{2}=\frac{x_{1}\xi
_{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}}{x_{1}+\xi _{5}},
$

|(3) |$  {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3}+\xi _{5},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}; $ |

для $ n=4 $, то есть ранга $ (5,2) $:

|(4) |$ {}^{}  f^{1}=\frac{x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{3}+\xi _{5}}{x_{1}\xi _{8}+x_{2}+\xi _{7}},\ f^{2}=\frac{x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{4}+\xi _{6}}{x_{1}\xi _{8}+x_{2}+\xi _{7}}. $ |

Двуметрики (2), (3), (4), а также двуметрика
(1) для случая $ c=0 $ в форме $ {}^{}  f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}+\xi
_{3},\ f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}+\xi _{4} $, ранее были обнаружены Е.Л.Лозицким 
(частное сообщение и ((**Михайличенко Г.Г., Лозицкий Е.Л.** {{ru:autors:lozitckii:lozitckii1988.djvu|Простейшие двуметрические физические структуры}}, Методологические и технологические проблемы 
информационно--логических систем (вычислительные системы, 125), Новосибирск,
1988, с. 88--89.))). Остальные впервые найдены Михайличенко Г.Г., 
который дополнительно доказал полноту приведённой классификации двуметрик. 
В указанной ранее статье ((**Михайличенко Г.Г., Лозицкий Е.Л.** {{ru:autors:lozitckii:lozitckii1988.djvu|Простейшие двуметрические физические структуры}}, Методологические и технологические проблемы 
информационно--логических систем (вычислительные системы, 125), Новосибирск,
1988, с. 88--89.)) приведены также несколько примеров двуметрик 
ранга $ (3,3) $:

|(5)|$  {}^{} f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}, \ f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}\xi _{4}, $ |

|(6)|$ {}^{}  f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}+\xi _{2}, \ f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}+\xi _{4}, $|

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}\xi _{1}-x_{2}\xi _{2}+x_{3}\xi _{3}-x_{4}\xi _{4},
f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+x_{3}\xi _{4}+x_{4}\xi _{3},
$

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}\xi _{1}-x_{2}\xi _{2}+x_{3}+\xi _{3}, f^{2}=x_{1}\xi _{2}+x_{2}\xi _{1}+x_{4}+\xi _{4}.
$

Нетрудно заметить, что решения (5) и (6) являются прямым 
произведением двух решений [[ru:common:фс_r|однометрических]] структур ранга $ (3,3) $, 
которые вполне естественно дополняются ещё одним решением:

$ {}^{} 
f^{1}=x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}, f^{2}=x_{3}\xi _{3}+x_{4}+\xi _{4}.
$

Существование такого решения следует из общей теоремы построения по $  {}^{} s_{1} $ 
и $ {}^{}  s_{2} $ метрическим структурам ранга $ {}^{}  (n_{1}+1,2) $ и 
($ n_{2}+1,2) $ новой $ s_{3} $ метрической структуры 
ранга $  {}^{} (n_{3}+1,2) $ при помощи феноменологически
симметричного произведения ((**Кыров В.А.** {{:ru:autors:kurov:kurov:articles:2009ivm3041.pdf |Феноменологически симметричные локальные группы Ли преобразований пространства}} $ {}^{} \mathbb{R}^{s}$. Изв. вузов. Матем.,
2009, № 7, 10--21.)). Оставшиеся два решения получаются 
комплексификацией однометрических решений ФС ранга $ (3,3) $. В работе 
Михайличенко Г.Г. и Мурадова Р.М. ((**Михайличенко Г.Г. , Мурадов Р.М.** Гиперкомплексные 
числа в теории физических структур, Известия вузов. Математика. 2008, №10, с. 25--30.)) 
комплексификация расширяется 
рассмотрением однометрических решений над гиперкомплексными числами ранга 2, т.е. 
когда, помимо случая с обычной мнимой единицей $  {}^{} i^{2}=-1 $, необходимо 
записать ещё решения для $  {}^{} i^{2}=1 $ и $  {}^{} i^{2}=0 $. Совершенно 
аналогично можно перейти к триметрическим решениям при рассмотрении однометрических решений 
над гиперкомплексными числами ранга 3, к четыреметрическим --- при рассмотрении над
гиперкомплексными числами ранга 4 и т.д. ((**Михайличенко Г.Г. , Мурадов Р.М.** Физические структуры как геометрии двух множеств. C приложениями В.А Кырова и А.Н. Бородина. 
Горно--Алтайск. Изд--во ГАГУ, 2008, с. 156.)).