=====Физические структуры ранга (2,2)===== Первые шаги в изучении алгебраических систем, возникающих в ТФС, были сделаны в 80--х годах прошлого столетия Витяевым Е.Е.((**Витяев Е.Е.**, {{ru:autors:vit:vit1985.pdf|Числовое, алгебраическое и онструктивное представления одной физической структуры}}. Логико-математические основы проблемы МОЗ. Новосибирск, 1985. Вып. 107: Вычислительные системы. с.40--51.)) и Иониным В.К.((**Ионин В.К.**, {{ru:autors:ionin:02.pdf|Абстрактные группы как физические структуры}}. Системология и методологические проблемы информационно--логических систем. Новосибирск, 1990. Вып. 135: Вычислительные системы. с. 40--43.)) при изучении ФС минимального ранга --- (2,2). Витяевым Е.Е., в силу выбранных дополнительных аксиом аддитивной соединительной структуры **Теории Измерений**((**Krantz D.H., Luce R.D., Suppes P., Tversky A.**, //Foundations of measurement. V.1// -- New York and London: Academic Press, 1971, p.576)), были получены решения для ФС ранга $ (2,2) $, являющиеся //абелевыми группами//. Ионин В.К., использовал более слабую систему аксиом, в которой помимо аксиомы I из [[ru:termin:аксиоматика_тфс_симонова|алгебраической системы аксиом]] и условия $ {}^{} \mathfrak{M=N}=B$, было ещё требование: II. $ {}^{} (\forall i\times \alpha \in \mathfrak{M\times N})(\forall j\in \mathfrak{M})(\forall \beta \in \mathfrak{N}) $ отображения $ {}^{} j\mapsto \langle j|\alpha \rangle ,\beta \mapsto \langle i|\beta \rangle $ биективны. При таких ограничениях Ионин В.К. показал эквивалентность класса ФС ранга $ (2,2) $ классу всех //групп// --- $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1})$. В этом случае репрезентатор $ {}^{} f $ записывается через групповую операцию $ {}^{} f(x,y)=\langle x | y \rangle =x\cdot y, $ а функция -- верификатор $ g $ в виде $ {}^{} g(x,y,z)=x\cdot y^{-1}\cdot z $ так, что справедливо тождество $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =\langle i|\beta \rangle \cdot \langle j|\beta \rangle ^{-1}\cdot \langle j|\alpha \rangle $. Значительно позже Бородин А.Н.((**Бородин А.Н.** {{ru:autors:borodin:приложение_бородин_2003.pdf|Груда и группа как физическая структура}}. Приложение 1. в монографии Г.Г. Михайличенко Групповая симметрия физических структур. Барнаул: БГПУ, 2003, с. 195--203.)) также изучал данную структуру с точки зрения тернарной алгебраической операции --- [[ru:termin:груды|груды]] $ {}^{} [,,]:B^{3}\rightarrow B$ и показал, что над грудой можно построить ФС ранга $ (2,2)$. Но любое решение над грудой можно записать в виде эквивалентного решения над группой, с групповой операцией $ {}^{} x\cdot y=[xzy]$, где $ {}^{} z\in B $ --- произвольный элемент груды. В совместной работе Мурадова Р.М. и Кырова В.А.((**Мурадов Р.М., Кырова В.А.**, {{ru:autors:kurov:kurov:articles:2008pdm25.pdf|О квазигруппах, возникающих из физической структуры ранга (2, 2}}). Прикладная дискретная математика, 2008, №2, 12--14.)) рассматривалась запись репрезентатора и верификатора в виде [[ru:termin:Квазигруппа Уорда|квазигруппы Уорда]]. В данной квазигруппе $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =i\circ \alpha $, а связь четырёх репрезентаторов записывается в виде $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle \circ \langle j|\alpha \rangle =\langle i|\beta \rangle \circ \langle j|\beta \rangle $. Но, с другой стороны, такая запись возможна только когда квазигруппа изотопна группе, тогда $ {}^{} x\circ y=x\cdot y^{-1} $ и новых, чисто квзигрупповых решений, не возникает. Необходимо ещё отметить решение ФС ранга $ (2,2) $ над комплексными числами $ {}^{} \mathbb{C} $, полученное Литвинцевым А.А.((**Литвинцев А.А.**, {{ru:autors:lit:2x2.pdf|Комплексная физическая структура ранга (2,2)}}. Приложение 1 в монографии Г.Г. Михайличенко Математический аппарат физических структур, 1997 г., с. 147-159.)), которое так же, как и в случае вещественных чисел, сводятся к двум изоморфным решениям --- сложению $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =x_{i}+y_{\alpha } $ и умножению $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle =x_{i}y_{\alpha } $ комплексных чисел $ {}^{} x_{i},y_{\alpha }\in \mathbb{C} $. Вернёмся теперь к полиметрическим ФС ранга $ (2,2) $ ((**Михайличенко Г.Г.**, {{ru:mix:articles:простейшие_полиметрические_геометрии.pdf|Простейшие полиметрические геометрии}} Простейшие полиметрические геометрии. ДАН 1996, том 348, №1, с.22--24.)),((**Михайличенко Г.Г., Лозицкий Е.Л.**, {{ru:autors:lozitckii:lozitckii1988.djvu|Простейшие двуметрические физические структуры}}, Методологические и технологические проблемы информационно--логических систем (вычислительные системы, 125), Новосибирск,1988, с. 88--89.)), но, воспользовавшись теоремой Ионина В.К., перепишем эти решения в эквивалентном, групповом виде: ====Однометрические физические структуры ранга (2,2).==== Над $ {}^{} B=\mathbb{R}$ можно построить только одну локально неизоморфную группу --- аддитивную группу $ {}^{} {\mathbb{R}}$. ====Двуметрические физические структуры ранга (2,2).==== Над $ {}^{} B={\mathbb{R}}^{2} $ таких групп уже две, причем они построены при помощи прямого $ {}^{} G_{1}={\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} $ и полупрямого произведения $ {}^{} G_{2}={\mathbb{R}}\leftthreetimes {\mathbb{R}}_{0}$, где $ {}^{} {\mathbb{R}}_{0}={\mathbb{R}}\setminus \{0\}. $ При этом подгруппа $ {}^{} {\mathbb{R}}\triangleleft G_{2} $ будет нормальной. Полупрямое произведение можно построить тогда и только тогда, когда для группы $ {}^{} G=N\leftthreetimes H $ существует гомоморфизм подгруппы $ H $ в подгруппу автоморфизмов нормальной группы $ {}^{} H\rightarrow N^{\prime }\subseteq Aut(N)$. Аддитивная группа $ {}^{} {\mathbb{R}} $ обладает естественным автоморфизмом, который строится при помощи умножения на любое число из $ {}^{} {\mathbb{R}}_{0}$, следовательно, группу $ G_{2}$, получающуюся при помощи полупрямого произведения аддитивной и мультипликативной групп, можно записать в виде $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}{y_{2}}+y_{1},x_{2}y_{2})$. ====Триметрические физические структуры ранга (2,2).==== Над $ {}^{} B=\mathbb{R}^{3} $ можно построить уже семь локально неизоморфных групп: $ {}^{} G_{1}={\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}$. Аддитивная группа $ {}^{} {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}} $ обладает следующим однопараметрическим автоморфизмом: $ {}^{} (x_{1},x_{2})^{a}=(x_{1}+x_{2}a,x_{2})$, тогда группа $ {}^{} G_{2}=({\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}})\leftthreetimes {\mathbb{R}} _{0} $ или покомпанентно $ {}^{} G_{2}(x,y)=G_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})= (x_{1}+y_{1}+x_{2}y_{3},x_{2}+y_{2},x_{3}y_{3}) $. Данная группа имеет собственное название --- трёхмерная группа Гейзенберга или группа Nil. Группы $ {}^{} G_{3}$, $ {}^{} G_{4} $ и $ {}^{} G_{5} $ строятся совершенно аналогично, но используются только другие автоморфизмы аддитивной группы $ {}^{} {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}}$, а именно: $ {}^{} (x,y)^{a}=(ax,a(y-x\ln |a|)) \Rightarrow $ $ {}^{} G_{3}(x,y)=(x_{3}y_{1}+x_{1},x_{3}(y_{2}-y_{1}\ln |x_{3}|)+x_{2},x_{3}y_{3});$ |(1)| $ {}^{} (x,y)^{a}=(ax,|a|^{p}y)\ \Rightarrow \ G_{4}(x,y)=(x_{3}y_{1}+x_{1},|x_{3}|^{p}y_{2}+x_{2},x_{3}y_{3}); $| $ {}^{} (x,y)^{a}=((x\cos (a)-y\sin (a))e^{\gamma a},(x\sin (a)+y\cos (a))e^{\gamma a})\ \Rightarrow $ $ {}^{} G_{5}(x,y)=((x_{1}\cos (y_{3})-x_{2}\sin (y_{3}))\exp {(\gamma y}_{3}{)}+y_{1},$ $ (x_{1}\sin (y_{3})+x_{2}\cos (y_{3}))\exp {(\gamma }y_{3}{)}+y_{2},x_{3}+y_{3}),$ при этом подгруппа $ {}^{} H