=====Физические структуры ранга (3,2)=====

Если физическую структуру ранга $ (2,2) $ можно построить над алгебраической 
структурой с одной бинарной операцией --- группой, то для построения ФС ранга $ 
(3,2) $ требуется более богатая алгебраическая структура. Из работ Михайличено
Г.Г. известно, что над полем вещественных чисел можно построить ФС ранга $ 
(3,2) $ с репрезентатором, определённом в виде $ {}^{} \langle i|\alpha \rangle
=x_{i}\xi _{\alpha }+\eta _{\alpha } $. Более того, такой репрезентатор будет
справедлив, построенный и над произвольным [[ru:termin:поле|полем]], [[ru:termin:тело|телом]], [[ru:termin:почти_поле|почтиполем]], почти--кольцом с групповой мультипликативной операцией или над [[ru:termin:правая_почтиобласть|правой почтиобластью]]((**Симонов А.А.**, {{ru:autors:simonov:articles:simonov2009.pdf|О соответствии правых почтиобластей точно дважды транзитивным группам}}. Тезисы "Мальцевские чтения", 2009, Новосибирск. с. 239--251)). В отличие от поля $  {}^{} \mathbb{P} $, в котором имеется две операции --- аддитивная и мультипликативная, связанные между собой правой 
и левой дистрибутивностью, в почтиполе отсутствует одна из дистрибутивностей, 
а мультипликативная операция может быть не коммутативной. В правой почтиобласти аддитивная операция может быть уже не групповой, а только [[ru:termin:rloop|правой лупой]]. 
Кроме того оставшаяся дистрибутивность может тоже выполняться в приближённом виде.

Над правой почтиобластью, при помощи функции $  {}^{} f(x,y,z)=x\cdot (y-z)+z $ 
можно построить группу c умножением:

|(1)| $$ 
\left(\begin{array}{c} x_{1} \\
x_{2}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
f(x_{1},y_{1},y_{2}) \\
f(x_{2},y_{1},y_{2})
\end{array}
\right) , $$|

тогда верификатор для ФС ранга (3,2) можно записать в виде:

$ {}^{} 
\langle i|\alpha \rangle \left(
\begin{array}{c}
\langle j|\alpha \rangle \\
\langle k|\alpha \rangle
\end{array}
\right) ^{-1}=\langle i|\beta \rangle \left(
\begin{array}{c}
\langle j|\beta \rangle \\
\langle k|\beta \rangle
\end{array}
\right) ^{-1}.
$

Если рассмотреть правую почтиобласть в которой для мультипликативной операции
вместо одного левого аннулятора --- $ 0 $, имеется целое множество левых 
аннуляторов, т.е. $  {}^{} (\forall a\in A)(\forall x\in B_{0})(a\cdot x=a) $, 
тогда [[ru:common:фс_полиметрические#Двуметрические решения ФС:|двуметрические решения]] ФС ранга (3,2)((**Михайличенко Г.Г.** {{ru:mix:articles:дан_321_1991_4.pdf|Двуметрические физические структуры и комплексные числа.}} ДАН 1991, том 321, № 4, с. 677--680.)) можно записать через аддитивные и мультипликативные операции правой почтиобласти, определённые на плоскости:

**Решение 1**:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1}+\varepsilon
x_{2}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}),\text{ \ }(\varepsilon =-1,0,1), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}). $

**Решение 2**:


$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}|y_{1}|^{c}),
\text{ \ }c\in \lbrack 0;1), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}). $


**Решение 3**:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot
(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}+(x_{1}-1)x_{1}y_{1}^{2}
\ln |y_{1}|), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2x_{1}y_{1}\ln |y_{1}|). $

**Решение 4**:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus
(y_{1},y_{2})=(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2},(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})\frac{y_{2}}{y_{1}}-
\frac{x_{1}}{y_{1}}). $

В решениях 2--4 мультипликативные операции изоморфны. Во всех случаях, за 
исключением последнего решения, нулевой элемент $ 0 $ в мультипликативной 
операции --- двусторонний. В решении 4 нулевой элемент только левосторонний. В
решениях 2--4, несмотря на их внешнее различие, левые обратные в аддитивной операции 
определяются одинаково $ {}^{}  L(x)=(-1,0)\cdot (x_{1},x_{2}). $ Алгебраические 
системы над которыми могут быть построены изоморфные группы (1) 
можно записать и через другую аддитивную операцию, причём совпадающую для решений 
2 и 3:

Решение $  {}^{} 2^{\prime } $:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}|y_{1}|^{c}),
\text{ \ }c\in \lbrack 0;1), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2\frac{x_{1}y_{2}%
}{y_{1}}). $

Решение $  {}^{} 3^{\prime }$:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot
(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}^{2}+(x_{1}-1)x_{1}y_{1}^{2}
\ln |y_{1}|), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus (y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}+2\frac{x_{1}y_{2}
}{y_{1}}).$

Решение $ 4^{\prime }$:

$ {}^{} (x_{1},x_{2})\cdot (y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2}), $ \\
$ {}^{} (x_{1},x_{2})\oplus
(y_{1},y_{2})=(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2},(y_{1}x_{2}+x_{1}y_{2})\frac{y_{2}}
{y_{1}}-\frac{x_{1}}{y_{1}}). $

В данном случае левые обратные уже выражаются в виде 
$  {}^{} L(x)=(x_{1},x_{2})\cdot (-1,0) $, а нулевой элемент 
$ 0 $ в аддитивных операциях строго левосторонний, т.е. аддитивная 
операция является частичной.

Из данного примера и примеров правых почтиобластей над телом видна неоднозначность 
выбора неизоморфных алгебраических систем, над которыми можно построить
одну и ту--же ФС и группу (1). Но, оказывается, имеется один инвариант 
для таких неизоморфных алгебраических систем --- унарная операция $  {}^{} 
\varphi _{2}:B\rightarrow B $, определённая в виде $  {}^{} \varphi _{2}(x)=x\cdot
L(e)+e $, где $  {}^{} e\in B_{0} $ --- нейтральный элемент в группе $ {}^{}  (B_{0},
\cdot ,^{-1}). $