=====Физические структуры ранга (n,2)=====

В [[ru:termin:правая_почтиобласть|правой почтиобласти]] $ {}^{} (B,+,\cdot , L, {}^{-1}) $ построим унарную операцию 
$ {}^{} \varphi _{2} :B\to B $  в виде $ {}^{} \varphi _{2}(x)=x(0-e)+e=xa
+e.$ Для данной операции справедливо тождество

$ {}^{}
\varphi _{2}^{2}(x)=(xa+e)a+e=(xL(a)+a)+e=xL(a)EL^{2}(e)=x.
$

Из определения следует $ {}^{} \varphi _{2}(e)=a+e=0$ и .
$ {}^{} \varphi _{2}(0)=e$.
При помощи отображения $ {}^{} \varphi _{2}$ можно выразить аддитивные операции:
$ {}^{} x+y=\varphi _{2}(xEL(y))y$ и $ {}^{} x-y=\varphi _{2}(xy^{-1})L(y)$.
Можно показать, что для унарной операции $ {}^{} \varphi _{2}$ справедливо
тождество:

|(1)|$ {}^{} \varphi _{2}(\varphi _{2}(x)\varphi _{2}(y))=\varphi _{2}(x\varphi _{2}(y^{-1}))y.  $|

На множестве $ {}^{} \widehat{B^{2}}\subseteq B^{2}$ определим
функцию $ {}^{} f:B\times \widehat{B^{2}}\rightarrow B$ в виде

|(2)| $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},y_{2})=\varphi _{2}(x\varphi _{2}(y_{1}y_{2}^{-1}))y_{2}, $|

при условии, что $ {}^{} y_{2}\in B_{0}$ и $ {}^{} y_{1}\times y_{2}\in \widehat{B^{2}}$.
В случае $ {}^{} y_{2}\in A$ (т.е. из множества левых ануляторов группы
$ {}^{} B_{0}$ ), но при $ {}^{} \varphi \left( y_{2}\right) \in B_{0}$
и $ {}^{} y_{1}\times y_{2}\in \widehat{B^{2}}$ функция $ {}^{} f$
определяется в виде

|(3)| $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},y_{2})=\varphi _{2}\left( \varphi _{2}(x\varphi _{2}(\varphi _{2}(y_{1})E\varphi _{2}(y_{2})))\varphi _{2}(y_{2})\right) .$|

Если мы рассматриваем только локальные группы Ли, тогда нам достаточно определения
функции в виде (2), т.к. размерность множества левых ануляторов
$ {}^{} \dim (A)<\dim (B_{0})$, а (3) достаточно заменить
на $ {}^{} f_{(3,2)}(x,y_{1},0)=xy_{1}$. При помощи функции $ {}^{} f_{(3,2)}
$ строится групповое умножение вектор--столбцов (2). 
Если в алгебраической системе $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1},\varphi _{2})$
имеется такая унарная операция $ {}^{} \varphi _{3}$, для которой выполнено
(1) и справедливо тождество 

$ {}^{} \varphi _{3}\varphi _{2}\varphi _{3}=\varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{2}$,

тогда можно построить функцию

$ {}^{}
f_{(4,2)}(x,y_{1},y_{2},y_{3})=\varphi _{3}\left( f_{(3,2)}(x,\varphi
_{3}(y_{1}y_{3}^{-1}),\varphi _{3}(y_{2}y_{3}^{-1}))\right) y_{3},
$

при помощи которой можно построить групповое умножение вектор--столбцов:

$$ {}^{}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{(4,2)}(x_{1},y_{1},y_{2},y_{3}) \\
f_{(4,2)}(x_{2},y_{1},y_{2},y_{3}) \\
f_{(4,2)}(x_{3},y_{1},y_{2},y_{3})
\end{array}
\right) .
$$

Аналогичная ситуация повторяется при построении ФС ранга $ {}^{} (n+1,2)$,
т.е., если в алгебраической системе $ {}^{} (B,\cdot ,^{-1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi
_{n-1})$ имеется такая унарная операция $ {}^{} \varphi _{n}$ для
которой выполнено (1) и справедливы тождества $ {}^{} \varphi _{n}\varphi _{i}\varphi
_{n}=\varphi _{i}\varphi _{n}\varphi _{i}$, для $ {}^{} i\in \{2,\ldots ,n-
1\},$ тогда можно построить функцию

|(4)|$ {}^{} f_{(n+1,2)}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})=$ $ {}^{}\varphi _{n}\left( f_{(n,2)}(x,\varphi _{n}(y_{1}y_{n}^{-1}),\ldots ,\varphi _{n}(y_{n-1}y_{n}^{-1}))\right) y_{n}, $|

при этом отображение $ {}^{} \sigma _{i}=\varphi _{i}\varphi _{2}\varphi _{i}$, для
$ {}^{} i\in \{3,\ldots ,n-1\},$ на мультипликативной группе $ {}^{} (B_{0},\cdot 
,^{-1})$ задаёт её автоморфизм $ {}^{} \sigma _{i}(x)\cdot \sigma _{i}(y)=\sigma _
{i}(x\cdot y)$, кроме того $ {}^{} \varphi _{i}=\sigma _{i}\varphi _{2}\sigma _{i}
$. При помощи функции (4) можно построить групповое умножение вектор--столбцов:

|(5)|$$ {}^{} \left(\begin{array}{c}x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{(n+1,2)}(x_{1},y_{1},\ldots ,y_{n}) \\
\vdots \\
f_{(n+1,2)}(x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})
\end{array}
\right)  \label{group(n-2)} $$ |

и, соответственно, при помощи определённого выше репрезентатора $ {}^{} \langle
i|\alpha \rangle =f_{(n+1,2)}(x_{i},y_{\alpha }^{_{1}},$ $ {}^{} \ldots ,
y_{\alpha}^{_{n}})$, построить тождество --- верификатор:


|(6)| $$ {}^{} \langle i_{0}|\alpha \rangle \left(\begin{array}{c}\langle i_{1}|\alpha \rangle \\
\vdots \\
\langle i_{n}|\alpha \rangle
\end{array}
\right) ^{-1}=\langle i_{0}|\beta \rangle \left(
\begin{array}{c}
\langle i_{1}|\beta \rangle \\
\vdots \\
\langle i_{n}|\beta \rangle
\end{array}
\right) ^{-1}.  \label{verif(n-2)} $$|

====Примеры====
===ФС ранга (4, 2) над полем вещественных чисел===

Покажем как при помощи (6) можно записать решение для ФС ранга
(4, 2) над полем вещественных чисел (или над произвольным полем). Определим
мультипликативную группу $ {}^{} B_{0}$ как $ {}^{} \mathbb{R}_{0}$ --
мультипликативную группу вещественных чисел без нуля. Унарная операция $ {}^{} \varphi _
{2}(x)=1-x$, автоморфизм мультипликативной группы $ {}^{} \sigma _{3}(x)=x^{-1}
$ так, что $ {}^{} \varphi _{3}(x)=\frac{x-1}{x}$ для которого справедливо 
тождество $ {}^{} \varphi _{2}\varphi _{3}\varphi _{2}=\varphi _{3}\varphi _{2}\varphi _
{3}$. Расширяя бинарную мультипликативную операцию $ {}^{} 0x=0,\infty x=\infty $  окончательно получим выражение для репрезентатора:

$ {}^{}
f_{(4,2)}(x,y_{1},y_{2},y_{3})=\frac{y_{2}(y_{3}-y_{1})+xy_{3}(y_{1}-y_{2})}{y_{3}-y_{1}+x
(y_{1}-y_{2})},
$

для которого справедливо

$$ {}^{}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\infty
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\infty
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}
\right) .
$$

===Двуметрических ФС ранга (n+1,2)===

Запишем теперь классификацию двуметрических ФС ранга $ {}^{} (2,n+1)$ через
классификацию алгебраической системы $ {}^{} (\mathbb{R}^{2},\cdot ,{}^{-1},\varphi _{2},
\sigma _{i})$, построенной над группами $ {}^{} \mathbb{G}_{1}$ и $ {}^{} 
\mathbb{G}_{2}$. Группу $ {}^{} \mathbb{G}_{1}$ запишем в двух локально 
изоморфных представлениях: $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$ с умножением $ {}^{}
(x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}),$ и $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)}
$ с умножением 
$ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1}+\varepsilon x_{2}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$ При $ {}^{} \varepsilon =1,$ таким образом определённое умножение, задаёт умножение двойных чисел, при $ {}^{} \varepsilon =0$ --- это умножение дуальных чисел и при $ {}^{} \varepsilon =-1$ --- это умножение комплексных чисел. Первые два примера гиперкомплексных чисел обладают делителями нуля и, потому в глобальном случае не являются группами, хотя локально они группы. Группа $ {}^{} \mathbb{G}_{2}$ по--прежнему с умножением $ {}^{} (x_{1},x_{2})(y_{1},y_{2})=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{2}+x_{2})$.

==Двуметрические ФС ранга (2,3)==

Двуметрические ФС ранга $ {}^{} (2,3)$ могут быть построены над алгебраическими системами:

1.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},-x_{2}).$ 

2.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},\varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1}),$

3.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},$ $ {}^{} c\in \lbrack 0;1)$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(|x_{1}|^{c}\frac{|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}}{\left(|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}\right) ^{c}},|x_{1}|^{c}\frac{x_{2}}{\left(|x_{1}|^{\frac{c}{c-1}}-x_{1}\right) ^{c}}),$

4.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},$ $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(\frac{x_{1}}{x_{1}-1}, \frac{x_{2}-\ln |x_{1}-1|+x_{1}(2-x_{1})\ln |\frac{x_{1}-1}{x_{1}}|}{(x_{1}-1)^{2}}).$

==Двуметрические ФС ранга (2,4)==

В решениях 1 и 2 имеется автоморфизм $ {}^{} \sigma _{3}$, позволяющий построить ФС
ранга $ {}^{} (2,4)$. Решение 1 имеет два независимых решения:

1.a.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},1-x_{2}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{-1},x_{2}x_{1}^{-1}),$

1.b.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(2)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},-x_{2}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}-\varepsilon x_{2}^{2}},\frac{-x_{2}}{x_{1}^{2}-\varepsilon x_{2}^{2}}),$

2.) $ {}^{} \mathbb{G}_{2},\varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1}),\sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1},1-x_{1}-x_{2}).$

==Двуметрические ФС ранга (2,5)==

Над группой $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, за счет существования $ {}^{} \sigma _ {4}$, можно построить ФС ранга $ {}^{} (2,5)$.

1.a.) $ {}^{} \mathbb{G}_{1}^{(1)}$, $ {}^{} \varphi _{2}(x_{1},x_{2})=(1-x_{1},1-x_{2})$, $ {}^{} \sigma _{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{-1},x_{2}x_{1}^{-1})$, $ {}^{}\sigma _{4}(x_{1},x_{2})=(x_{1}x_{2}^{-1},x_{2}^{-1})$.