=====Трёхмерные геометрии=====

Аналогичная задача, классификации трёхмерных геометрий, была решена [[ru:authors:lev:lev|Владимиром Ханановичем Львом]]((**Лев В.Х.** Трёхмерные и четырёхмерные пространства в теории
физических структур. Автореферат канд. диссертации. -- Минск, 1990, с. 10.)) 
((**Лев В.Х.** {{:ru:autors:lev:lev1988.djvu|Трехмерные геометрии в теории физических структур}}. Вычислительные системы, 125, Новосибирск 1988г., c. 90--104.)). Метрические функции этих геометрий 
в специальной системе локальных координат принимают следующий вид:

  - $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2};$
  - $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2};$
  - $ {}^{} f(xy)=\sin x_{3}\sin y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) +\cos x_{3}\cos y_{3};$
  - $ f(xy)=\cosh x_{3}\cosh y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) -\sinh x_{3}\sinh y_{3};$
  - $f(xy)=\sinh x_{3}\sinh y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) -\cosh x_{3}\cosh y_{3}; $
  - $ f(xy)=\cosh x_{3}\cosh y_{3}\left( \cosh x_{2}\cosh y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})-\sinh x_{2}\sinh y_{2}\right) -\sinh x_{3}\sinh y_{3};$
  - $ {}^{} f(xy)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}-y_{3};  \label{anti-1} $
  - $ {}^{} f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left(\gamma \text{arctg}\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right);$
  - $ {}^{} f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left( \beta \text{Arc(c)th}\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right);$
  - $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}\exp \left( \frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right); $
  - $ {}^{} f(xy)=\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}\exp \left( x_{3}+y_{3}\right);$
где, $ {}^{}\gamma \geq 0$, $ {}^{}\beta \geq 0$ и  $ {}^{}\beta \neq 2$.

Аналогично плоским геометриям, первые две трёхмерные геометрии можно получить
из [[ru:common:фс_r|репрезентатора ФС]] (2) ранга $ {}^{}(5,5)$ при дополнительном условии 
$ {}^{}f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{}f(i,i)=0$. Ещё четыре геометрии, аналогично, 
получаются из [[ru:common:фс_r|репрезентатора ФС]] (1) ранга $ {}^{}(5,5)$ при 
дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{}f(i,i)=1$.

Известно, что симлектическая геометрия может быть только для четных размерностей, 
в данном случае, получающаяся метрическая функция (3) близка
к симплектической, но определена для нечётной размерности и получается из [[ru:common:фс_r|репрезентатора ФС]] (2) ранга $ {}^{}(4,4)$ при дополнительном условии 
$ {}^{}f(i,j)=-f(j,i)$.

Оставшиеся четыре геометрии связаны с четыреметрическими ФС ранга (2,2). Аналогично 
[[ru:common:фс_r_4|плоскому случаю]], при надлежащем выборе изотопических преобразований
четырёхмерных групп одна из четырёх компонент функции 
$ {}^{}f=(f^{1},f^{2},f^{3},f^{4})$ будет совпадать с метрической функцией 
трёхмерной геометрии ((**Кыров В.А.** {{ru:autors:kurov:kurov:articles:2008ivm1507.pdf|Классификация четырехмерных транзитивных локальных групп Ли преобразований пространства}} $ {}^{}R^{4}$ и их двухточечных
инвариантов. Известия вузов. Математика. 2008, № 6, с. 29--42.)).

Казалось бы, аналогично полученному ранее репрезентатору (7), из 
[[ru:common:фс_r|репрезентатора ФС]] (1) ранга $ {}^{}(4,4)$, при том же дополнительном 
условии $ {}^{}f(i,j)=-f(j,i)$, можно получить так же метрическую функцию 
антисимметричной геометрии

$ {}^{} f(xy)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+a\left( x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\right) +b\left(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) .$

Но заменой переменных $ {}^{}x_{1}^{\prime }=x_{1}-ax_{3},x_{2}^{\prime }=x_{2}-bx_{3},x_{3}^{\prime }=x_{3}$ можно устранить зависимость от трёх 
переменных и свести её к зависимости от двух переменных, т.е. 
$ {}^{}f(xy)=f(x^{\prime }y^{\prime })=x_{1}^{\prime }y_{2}^{\prime }-x_{2}^{\prime }
y_{1}^{\prime }$, т.о. данная геометрия будет вырожденной. В общем случае было 
показано ((**Михайличенко Г.Г.** {{ru:mix:articles:неоторые_следствия.pdf|Некоторые следствия гипотезы о бинарной структуре пространства (в рамках теории физических структур)}} --- Изв. вузов. Матем., 1991, № 6,  28–35.)), что из требования существования связи 
$ {}^{}f(xy)=\lambda \left( f(yx)\right) $ для бинарных ФС на двух множествах 
следует наличие только симметричной и антисимметричной геометрии. Антисимметричные
геометрии возможны двух типов, но для разных размерностей:

$ {}^{} f_{ij}=\sum\limits_{\mu =1}^{n}\sum\limits_{\nu =1}^{n}b_{\mu \nu }x_{i}^{\mu }x_{j}^{\nu }$, при $ {}^{}n=2;4;\ldots ,$

$ {}^{} f_{ij}=\sum\limits_{\mu =1}^{n-1}\sum\limits_{\nu =1}^{n-1}b_{\mu \nu }x_{i}^{\mu }x_{j}^{\nu }+x_{i}^{n}-x_{j}^{n}$,  при $ {}^{}n=3;5;\ldots ,\label{anti-nn}$

коэффициент $ {}^{}b_{\mu \nu }=-b_{\nu \mu }$