=====Правая почтиобласть=====

Определим //правую почтиобласть// как алгебраическую систему
$ {}^{} (B_1, 0,  v, \cdot , + , -, h, r)$ с операциями:

$ {}^{} (+):B\times B_1\to B, \ (-):B\times B_1\to B, \ (\cdot ):B\times B_1\to B,$
где $ {}^{} B=B_1 \cup  \{0\} $ и 

$  {}^{} 
v:B_1\to B_1, \ h:B_1\times B_1\to B_1, \ r:B_1\times B_1\to B_1,
$
для которых выполнены аксиомы

  - $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y\in B_1) \  (x-y)+y=x$;
  - $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y\in B_1) \ (x+y)-y=x$;
  - $ {}^{} (\forall x\in B_1) \  x-x=0$;
  - $ {}^{} (B_1, \cdot , e)$ --- группа с нейтральным элементом $ {}^{} e\in B_1$;
  - $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y, z\in B_1)(\exists  h(y,z)\in B_1) \ (x+y)z=xh(y,z)+yz$;
  - $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall y, z\in B_1: y+z\neq 0)(\exists  r(y,z)\in B_1) $ $  {}^{}  \ (x+y)+z=xr(y,z)+(y+z)$;
  - $ {}^{} (\forall x\in B)(\forall z\in B_1)(\exists  v(z)\in B_1) \ (x+(0-z))+z=xv(z)$.

Тождество из 5 приводит к нарушению правой дистрибутивности, левой
дистрибутивности не требуется. Тождество 6 описывает нарушение 
ассоциативности, 7 обусловлено тем, что бинарные операции являются 
частичными. 

В отличие от правой почтиобласти в [[ru:termin:почтиобласть|почтиобласти ]] $ {}^{} h(y,z)=z$ и $ {}^{} v(z)=e$.
Аксиомы А1 --- А3 определяют алгебраическую систему
$ {}^{} (B_1, 0, + , -)$ как правую лупу.
Введём обозначения $ {}^{} L(x)=0-x$, тогда из А1 следует $ {}^{} L(x)+x=0$. Т.о.
отображение $ {}^{} L:B_1\to B_1$ определяет левый обратный в правой лупе.

Можно показать ((**Симонов А.А.**, {{ru:autors:simonov:articles:правая_почтиобласть_2.pdf|О соответствии правых почтиобластей точно дважды транзитивным группам}}, 2010.)), что справедлива\\
**Лемма.** //В правой почтиобласти выполнено//:\\
  - $ {}^{} (\forall x\in B_1) \ 0x=0$;
  - $ {}^{} h(x,y)=EL(x)L(xy)$;
  - $ {}^{} r(y,z)=(L(z)-y)^{-1}L(y+z)$;
  - $ {}^{} x-z=xv^{-1}(z)+L(z)$;
  - $ {}^{} v(z)= EL^{2}(z)z$,

//где// $ {}^{} E(x)=x^{-1}$, $  {}^{}  EL$ --- //суперпозиция преобразований// 
$  {}^{} L$ //и// $  {}^{}  E$.

====Примеры====

Рассмотрим несколько примеров правых почтиобластей $ {}^{}  (\mathbb{K},\oplus ,\ominus ,
\cdot ,^{-1},0) $, построенных над телом $ {}^{}  (\mathbb{K},+,-,\cdot
,^{-1},0) $:

$  {}^{} x\oplus y=-xa^{-1}+y,\text{ }L(x)=ax,\ r(y,z)=-a^{-1},\ v(z)=a^{-2}.$

В такой правой почтиобласти выполняется двухсторонняя дистрибутивность и справедливо 
тождество $ {}^{}  L(x\oplus y)=L(x)\oplus L(y) $. Для второго примера над телом:

$ {}^{} x\oplus y=xy^{2}+y$, $ {}^{} L(x)=-x^{-1}$, $ {}^{} r(y,z)=y^{2}z(z+y)^{-1}(yz+1)$, $ {}^{} h(y,z)=z^{-1} $

это соотношение не выполняется $  {}^{} L(x\oplus y)\neq L(x)\oplus L(y) $, но 
выполнено $  {}^{} L(x)\oplus x=x\oplus L(x)=0 $.