====== Радикал Джекобсона ======
===== Левый радикал Джекобсона =====
__Определение 1.__ **Левым радикалом Джекобсона**((left Jacobson radical)) $J_l(R)$ [[:glossary:ring|ассоциативного кольца]] $R$ называется совокупность элементов из $R$, которые аннулируют все [[:glossary:module:irreducible|неприводимые левые]] $R$[[:glossary:module:irreducible|-модули]], или само кольцо, если неприводимых левых $R$-модулей не существует. Если $A(M)$ обозначает [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] левого модуля $M$, то по определению <WRAP centeralign>$J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$,</WRAP>  где $M$ пробегает все возможные неприводимые левые $R$-модули.

Поскольку аннуляторы $A(M)$ --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонние идеалы]] в $R$((см. [[:glossary:module:faithful|предложение 1]])), то $J_l(R)$ является двусторонним идеалом.

__Теорема 1.__ $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$, где $\rho$ пробегает все [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|регулярные максимальные левые идеалы]] кольца $R$, а $(\rho:R)$ --- наибольший двусторонний идеал из $R$, лежащий в $\rho$.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть $J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$ --- левый радикал Джекобсона, тогда $M$ --- неприводимый левый $R$-модуль, поэтому((см. [[:glossary:module:irreducible|предложение 1]])) $M=R/\rho$ для некоторого регулярного максимального левого идеала. В этом случае $A(M)$ состоит из таких элементов $x\in R$, что $x(R/\rho)=0$ или, что то же самое, $xR\subseteq\rho$, то есть $x\in(\rho:R)$((см. [[:glossary:ring:ideal|определение 5]])). Обратно, пусть $x\in(\rho:R)$, тогда $xR\subseteq\rho$, поэтому на фактормодуле $R/\rho$ элемент $x$ действует тривиально((это действие определено в [[:glossary:module|примере 2]])), а значит, $x\in A(M)$. Таким образом, $A(M)=(\rho:R)$ для некоторого регулярного максимального левого идеала. Кроме того  $(\rho:R)$ двусторонний, так как $A(M)$ двусторонний.

Заметим, что из регулярности $\rho$ следует, что $(\rho:R)\subseteq\rho$, так как найдется $a\in R$ такое, что $x-xa\in\rho$ для всех $x\in(\rho:R)$. Но если $x\in(\rho:R)$, то $xa\in\rho$, а значит, $x\in\rho$.

Остается показать, что $(\rho:R)$ --- максимальный двусторонний идеал, содержащийся в $\rho$. Пусть $\rho_1$ --- двусторонний идеал кольца $R$, содержащийся в $\rho$. Тогда $\rho_1R\subseteq\rho_1\subseteq\rho$, то есть $\rho_1\subseteq(\rho:R)$.
 $\blacksquare$
</hidden>
__Лемма.__ Пусть $R$ --- ассоциативное кольцо, тогда собственный регулярный левый идеал $\rho\subset R$ содержится в некотором максимальном левом идеале $\rho_0$, причем $\rho_0$ регулярен.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Пусть $\rho$ --- левый регулярный идеал, то есть $\{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho$ для некоторого $a\in R$. Рассмотрим множество $\mathfrak{R}$ всех собственных левых идеалов, содержащих $\rho$. Оно частично упорядочено. Кроме того, никакой идеал $\rho_1\in\mathfrak{R}$ не содержит $a$, иначе $Ra\in\rho_1$, и $R=\rho_1$. Поэтому $\mathfrak{R}$ индуктивно упорядочено, и по лемме Цорна существует максимальный собственный левый идеал $\rho_0$, содержащий $\rho$. Очевидно, он регулярен, так как $\{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho\subseteq\rho_0$.
</hidden>

__Теорема 2.__ Пусть $R$ --- ассоциативное кольцо и $J_l(R)$ его левый радикал Джекобсона, тогда
  - идеал $J_l(R)$ [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|лево-квазирегулярен]];
  - если $\rho$ --- лево-квазирегулярный левый идеал кольца $R$, то $\rho\subseteq J_l(R)$.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
1. Обозначим $\underset{\rho}{\bigcap}\rho$, где $\rho$ пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца $R$, через $\tau$. Согласно теореме 1, $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$, где $\rho$ пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца $R$, и $(\rho:R)\subseteq\rho$, откуда $J_l(R)\subseteq\tau$.

Покажем, что множество $\rho_x=\{y+yx|y\in R\}$ для произвольного $x\in\tau$ совпадает с $R$. Очевидно, что $\rho_x$ --- левый идеал в $R$. Более того, $\rho_x$ регулярный левый идеал, так как для любого $y\in R$ элемент $y-y(-x)$ лежит в $\rho_x$. Предположим, что $\rho_x$ собственный, тогда он содержится в некотором максимальном левом идеале $\rho_*$, который является регулярным. Поэтому в частности $x\in\rho_*$, откуда $yx\in\rho_*$ для любого $y\in R$. Поскольку $y+yx\in\rho_x\subseteq\rho_*$, то $y\in\rho_*$, то есть $\rho_*=R$ --- противоречие.

Итак, мы показали, что $\{y+yx|y\in R\}=R$. Тогда найдется такой $y\in R$, что $y+yx=-x$, то есть $x+y+yx=0$ для произвольно выбранного $x\in\tau$. Лево-квазирегулярность $\tau$, а значит, и $J_l(R)$, доказана.

2. Пусть найдется лево-квазирегулярный левый идеал $\rho$, не содержащийся в $J_l(R)$. Это означает, что $\rho\not\subset A(M)$, то есть $\rho M\neq0$ для некоторого неприводимого $R$-модуля $M$. Тогда можно выбрать $m\in M$, чтобы $\rho m\neq0$. Поскольку $\rho m$ --- ненулевой $R$-подмодуль в неприводимом модуле $M$, то $\rho m=M$. Следовательно, $rm=-m$ для некоторого $r\in\rho$.

В силу того, что $\rho$ --- лево-квазирегулярный, для выбранного ранее $r\in\rho$ найдется такой $a\in R$, что $a+r+ar=0$. Тогда $0=(a+r+ar)m=am+rm+arm=am-m-am=-m$, откуда $\rho m=0$. Получили противоречие, которое доказывает, что $\rho\subseteq J_l(R)$.
 $\blacksquare$
</hidden>

__Теорема 3.__ $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho$, где $\rho$ пробегает все максимальные регулярные левые идеалы кольца $R$.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Это прямое следствие доказательства теоремы 2. Действительно, из п.1 доказательства следует, что $\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ лево-квазирегулярный идеал, поэтому $\underset{\rho}{\bigcap}\rho\subseteq J_l(R)$. Из теоремы 1 следует обратное включение $J_l(R)\subseteq\underset{\rho}{\bigcap}\rho$((см. п.1 доказательства теоремы 2)).
 $\blacksquare$
</hidden>

__Следствие 1.__ $J_l(R)$ --- единственный максимальный лево-квазирегулярный левый идеал в $R$.
===== Правый радикал Джекобсона =====
__Определение 2.__ **Правым радикалом Джекобсона**((right Jacobson radical)) $J_r(R)$ ассоциативного кольца $R$ называется совокупность элементов из $R$, которые аннулируют все [[:glossary:module:irreducible|неприводимые правые]] $R$[[:glossary:module:irreducible|-модули]], или само кольцо, если неприводимых правых $R$-модулей не существует. Если $A(M)$ обозначает [[:glossary:module:faithful|аннулятор]] правого модуля $M$, то по определению <WRAP centeralign>$J_r(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$,</WRAP> где $M$ пробегает все возможные неприводимые правые $R$-модули.

Поскольку аннуляторы $A(M)$ --- [[:glossary:ring:ideal|двусторонние идеалы]] в $R$((см. [[:glossary:module:faithful|предложение 1]])), то $J_r(R)$ является двусторонним идеалом.

__Теорема 4.__ $J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$, где $\rho$ пробегает все [[:glossary:ring:ideal#правый_идеал|максимальные регулярные правые идеалы]] кольца $R$, а $(\rho:R)$ --- наибольший двусторонний идеал из $R$, лежащий в $\rho$.

__Теорема 5.__ $J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho$, где $\rho$ пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца $R$.

__Теорема 6.__ Пусть $R$ --- ассоциативное кольцо и $J_r(R)$ его правый радикал Джекобсона, тогда
  - идеал $J_r(R)$ [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|право-квазирегулярен]];
  - если $\rho$ --- право-квазирегулярный правый идеал кольца $R$, то $\rho\subseteq J_r(R)$.

__Следствие 2.__ $J_r(R)$ --- единственный максимальный право-квазирегулярный правый идеал в $R$.
===== Радикал Джекобсона =====
__Предложение 1.__ Пусть $R$ --- ассоциативное кольцо, тогда $J_l(R)=J_r(R)$.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Заметим еще раз, что $J_l(R)$ и $J_r(R)$ --- двусторонние идеалы. Поэтому из следствия 1 и [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|предложения 3]] следует, что $J_l(R)$ --- право-квазирегулярный правый идеал, а значит, по следствию 2 $J_l(R)\subseteq J_r(R)$. Аналогично из [[:glossary:ring:ideal:quasi-regular|предложения 4]] и следствий 1 и 2 имеем обратное включение $J_r(R)\subseteq J_l(R)$.
 $\blacksquare$
</hidden>

__Определение 3.__ Идеал $J(R)=J_l(R)=J_r(R)$ называется **радикалом Джекобсона**((Jacobson radical)) или **квазирегулярным радикалом**((quasi-regular radical)) ассоциативного кольца $R$.

__Предложение 2.__ Если $A$ --- идеал ассоциативного кольца $R$, то $J(A)=J(R)\cap A$.
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
Докажем сначала, что идеал $I$ полупростого кольца $R$ полупрост. Пусть $J(I)\neq0$, тогда $I_1=RJ(I)$ --- левый идеал кольца $R$. Заметим, что $I_1\neq 0$, иначе $RJ(I)=0$, то есть $J(I)$ --- нильпотентный левый идеал в $R$ и по [[:glossary:ring:ideal:nilpotent|следствию 1]] $J(I)\subseteq J(R)=0$. По той же причине $I_1^2\neq 0$. Но $I_1^2=RJ(I)RJ(I)\subseteq IJ(I)\subseteq J(I)$. Таким образом левый идеал $I_1^2$ в $R$ содержит квазирегулярные элементы, поэтому в силу полупростоты $I_1^2=0$ --- противоречие с тем, что $J(I)\neq 0$.

Идеал $J(R)\cap A$ по теореме 3 состоит из лево-квазирегулярных элементов, то есть для любого $a\in J(R)\cap A$ найдется $a'\in R$ такой, что $a+a'+a'a=0$. Так как $a\in A$ и $a'a\in A$, то $a'=-a-a'a\in A$. Следовательно, $a$ лево-квазирегулярен в $A$, откуда $J(R)\cap A\subseteq J(A)$.

Обратно, так как $J(R)$ --- двусторонний идеал, то каноническая проекция $\pi\colon R\rightarrow R/J(R)$ является гомоморфизмом колец. Образ идеала $A$, $\pi(A)=A/A\cap J(R)$ --- идеал в $R/J(R)$. Из того, что $R/J(R)$ полупросто (по п.1 теоремы 7) следует, что $\pi(A)$ полупросто. Тогда $\pi(J(A))=0$, то есть $J(A)\subseteq A\cap J(R)$.
 $\blacksquare$
</hidden>

__Теорема 7.__ Правило $J$, сопоставляющее ассоциативному кольцу $R$ его радикал Джекобсона $J(R)$, является [[:glossary:ring:radical|радикалом]]<wrap hide>(в смысле Куроша)</wrap>, то есть выполнено:
  - $J(J(R))=J(R)$
  - $J(R/J(R))=0$
  - для любого [[:glossary:morphism:ring|гомоморфизма ассоциативных колец]] $\varphi\colon R\rightarrow S$ выполнено включение $\varphi(J(R))\subseteq J(\varphi(R))$
<hidden onVisible="Доказательство." onHidden="Доказательство."  initialState="invisible">
1. Равенство $J(J(R))=J(R)$ следует из предложения 2, если положить $A=J(R)$.

2. Каноническая проекция $R\rightarrow R/J(R)$ каждому максимальному регулярному левому идеалу $\rho\subset R$ ставит в соответствие максимальный левый идеал $\overline{\rho}\subseteq R/J(R)$, поскольку $\rho\supset J(R)$. Идеал $\rho$ также регулярен, так как соотношение $x-xa\in\rho$ влечет $\overline{x}-\overline{x}\overline{a}\in\overline{\rho}$. В силу теоремы 2 радикал Джекобсона --- это пересечение всех регулярных максимальных левых идеалов в $R$: $J(R)=\cap\rho$, но тогда $0=\cap\overline{\rho}$ --- пересечение некоторых максимальных регулярных левых идеалов кольца $R/J(R)$, а значит, оно содержит радикал Джекобсона этого кольца. Откуда $J(R/J(R))=0$.

3. Можно считать, что $\varphi$ --- эпиморфизм. Пусть $J(S)=\cap\tau$ --- пересечение максимальных регулярных левых идеалов в $S$. Прообраз $\varphi^{-1}(\tau)$ --- максимальный регулярный левый идеал. Таким образом $J(R)\subseteq\cap\varphi^{-1}(\tau)$, а значит, $\varphi(J(R))\subseteq\cap\tau=J(S)$.
 $\blacksquare$
</hidden>

__Теорема 8.__ $J(\textrm{Mat}_n(R))=\textrm{Mat}_n(J(R))$.

__Пример 1.__ $J(\mathbb{Z})=0$. Действительно, в [[:glossary:set:integer|кольце целых чисел]] $\mathbb{Z}$ каждый идеал регулярный((см. [[:glossary:ring:ideal#левый_идеал|пример 2]])). Все максимальные идеалы имеют вид $p\mathbb{Z}$, где $p$ --- простое число. Значит, $J(\mathbb{Z})=\underset{p}{\bigcap}p\mathbb{Z}=0$.

===== Литература =====
  * Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. <<Радикалы алгебр и структурная теория>>, Наука, 1979.
  * Херстейн И. <<Некоммутативные кольца>>, Мир, 1972.