ru:authors:simonov:science

Область моих интересов — это теория физических структур (ТФС) и связанные с ними алгебраические системы. Изначально ТФС, введённая Кулаковым Ю.И., рассматривалась над множеством вещественных чисел. Для первоначально сформулированной проблемы решалась классификационная задача над гладкими многобразиями. Данная задача, успешно решенная Г.Г. Михайличенко, заставила под другим углом взглянуть на саму постановку задачи, вследствие чего возникла естественная потребность рассмотреть ту же задачу над другими множествами помимо множества вещественных чисел. Г.Г. Михайличенко рассмотрел некоторые задачи ТФС над множеством $\mathbb R^2$ и $\mathbb R^3$, но дальнейшее продвижение было сопряжено с большими трудностями. Некоторые задачи были рассмотрены его учениками А.А. Литвинцевым — над полем комплексных чисел $\mathbb C$, В.А. Кыровым — над множеством $\mathbb R^4$. Представляется, что без изучения алгебраических систем, над которым возможно построение решений ТФС не удастся упростить задачу.

Первыми шагами в изучении алгебраических систем, возникающих в ТФС, были сделаны Е.Е. Витяевым и В.К. Иониным при изучении физической структуры минимального ранга — (2,2). Впоследствии автором была выработана алгебраическая аксиоматика ТФС, при помощи которой удалось показать её эквивалентность понятию псевдоматричного умножения (обобщённого матричного), в котором, в отличие от обычного матричного умножения, построенного на билинейной функции, умножение строится на некоторой специальной функции, зависящей от элементов строки первой перемножаемой матрицы и элементов столбца второй матрицы. В таком подходе становится более понятным и сам математический смысл ТФС. Используя уже данную алгебраическую аксиоматику и понятие псевдоматричного умножения учеником Л.А. Бокутя И.А. Фирдманом была решена задача по классификации решений ТФС с некоторыми дополнительными ограничениями, над топологическими пространствами.

При анализе некоторых глобальных решений, возникающих у Михайличенко Г.Г. в его подходе поиска локальных решений, обнаружилась связь с новыми групповыми объектами, которые можно было бы назвать как группы близкие к точно транзитивным. В качестве таких групп выступают как обычные матрицы, так имеются и другие решения. Для описания точно транзитивных групп известна их эквивалентность почтиобластям, аналогично, можно показать, что группы близкие к точно транзитивным связаны с правыми почтиобластями. Последние результаты докладывались на Мальцевских конференциях, семинарах института математики СО РАН: «Алгебра и Логика», теория групп, Эварист Галуа и семинар им. Ширшова, на научных семинарах в НГУ, МГУ, ГАГУ, ТГУ..