Аналогичная задача, классификации трёхмерных геометрий, была решена Владимиром Ханановичем Львом^{1) 2)}. Метрические функции этих геометрий в специальной системе локальных координат принимают следующий вид:

1. $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2};$
2. $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}-(x_{3}-y_{3})^{2};$
3. $ {}^{} f(xy)=\sin x_{3}\sin y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) +\cos x_{3}\cos y_{3};$
4. $ f(xy)=\cosh x_{3}\cosh y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) -\sinh x_{3}\sinh y_{3};$
5. $f(xy)=\sinh x_{3}\sinh y_{3}\left( \sin x_{2}\sin y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})+\cos x_{2}\cos y_{2}\right) -\cosh x_{3}\cosh y_{3}; $
6. $ f(xy)=\cosh x_{3}\cosh y_{3}\left( \cosh x_{2}\cosh y_{2}\cos (x_{1}-y_{1})-\sinh x_{2}\sinh y_{2}\right) -\sinh x_{3}\sinh y_{3};$
7. $ {}^{} f(xy)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{3}-y_{3}; \label{anti-1} $
8. $ {}^{} f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left(\gamma \text{arctg}\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right);$
9. $ {}^{} f(xy)=[(x_{1}-y_{1})^{2}-(x_{2}-y_{2})^{2}]\exp \left( \beta \text{Arc(c)th}\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right);$
10. $ {}^{} f(xy)=(x_{1}-y_{1})^{2}\exp \left( \frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}+x_{3}+y_{3}\right); $
11. $ {}^{} f(xy)=\frac{x_{2}-y_{2}}{x_{1}-y_{1}}\exp \left( x_{3}+y_{3}\right);$

где, $ {}^{}\gamma \geq 0$, $ {}^{}\beta \geq 0$ и $ {}^{}\beta \neq 2$.

Аналогично плоским геометриям, первые две трёхмерные геометрии можно получить из репрезентатора ФС (2) ранга $ {}^{}(5,5)$ при дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{}f(i,i)=0$. Ещё четыре геометрии, аналогично, получаются из репрезентатора ФС (1) ранга $ {}^{}(5,5)$ при дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=f(j,i)$ и $ {}^{}f(i,i)=1$.

Известно, что симлектическая геометрия может быть только для четных размерностей, в данном случае, получающаяся метрическая функция (3) близка к симплектической, но определена для нечётной размерности и получается из репрезентатора ФС (2) ранга $ {}^{}(4,4)$ при дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=-f(j,i)$.

Оставшиеся четыре геометрии связаны с четыреметрическими ФС ранга (2,2). Аналогично плоскому случаю, при надлежащем выборе изотопических преобразований четырёхмерных групп одна из четырёх компонент функции $ {}^{}f=(f^{1},f^{2},f^{3},f^{4})$ будет совпадать с метрической функцией трёхмерной геометрии ³⁾.

Казалось бы, аналогично полученному ранее репрезентатору (7), из репрезентатора ФС (1) ранга $ {}^{}(4,4)$, при том же дополнительном условии $ {}^{}f(i,j)=-f(j,i)$, можно получить так же метрическую функцию антисимметричной геометрии

$ {}^{} f(xy)=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+a\left( x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\right) +b\left(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\right) .$

Но заменой переменных $ {}^{}x_{1}^{\prime }=x_{1}-ax_{3},x_{2}^{\prime }=x_{2}-bx_{3},x_{3}^{\prime }=x_{3}$ можно устранить зависимость от трёх переменных и свести её к зависимости от двух переменных, т.е. $ {}^{}f(xy)=f(x^{\prime }y^{\prime })=x_{1}^{\prime }y_{2}^{\prime }-x_{2}^{\prime } y_{1}^{\prime }$, т.о. данная геометрия будет вырожденной. В общем случае было показано ⁴⁾, что из требования существования связи $ {}^{}f(xy)=\lambda \left( f(yx)\right) $ для бинарных ФС на двух множествах следует наличие только симметричной и антисимметричной геометрии. Антисимметричные геометрии возможны двух типов, но для разных размерностей:

$ {}^{} f_{ij}=\sum\limits_{\mu =1}^{n}\sum\limits_{\nu =1}^{n}b_{\mu \nu }x_{i}^{\mu }x_{j}^{\nu }$, при $ {}^{}n=2;4;\ldots ,$

$ {}^{} f_{ij}=\sum\limits_{\mu =1}^{n-1}\sum\limits_{\nu =1}^{n-1}b_{\mu \nu }x_{i}^{\mu }x_{j}^{\nu }+x_{i}^{n}-x_{j}^{n}$, при $ {}^{}n=3;5;\ldots ,\label{anti-nn}$

коэффициент $ {}^{}b_{\mu \nu }=-b_{\nu \mu }$