ru:termin:почти_поле

Почти–поле — алгебраическая система $ {}^{} (H,+,\cdot)$, обобщающая тело. В почти–поле, в отличие от тела, отсутствует одна из дистрибутивностей, например, левая. Мультипликативная операция может быть некоммутативной группой.

В качестве примера рассмотрим почти–поле с мультипликативной операцией — кватернионной группой из 8 элементов $ {}^{} (1,-1,i,-i,j,-j,k,-k) $. Аддитивная операция почти–поля совпадает с аддитивной группой поля $ {}^{} GF(3^2)$, если ввести следующие соответствия:

$$ \begin{array}{rrr} 0^* = (0,0) & i = (0, 1) & -i = (0,2) \\ 1 = (1,0) & j = (2, 1) & -j =(1, 2) \\ -1 = (2,0) & k = (1, 1) & -k = (2,2) \end{array} $$

Из данной таблицы, например, в силу того, что $ {}^{} 3 \mod 3= 0$, следует $ {}^{} i+(-i)=(0, 1)+(0,2)=(0,3)=(0,0)=0^*$.

Проверим, теперь, правостороннюю дистрибутивность:
$ {}^{} (i+j)k=(-k)k=1$, с другой стороны $ {}^{} ik+jk=-j+i=1$. Аналогично проверяется дистрибутивность и для остальных элементов.

Убедимся в отсутствии левосторонней дистрибутивности:
$ {}^{} i(j+k)=i(-i)=1$, с другой стороны $ {}^{} ij+ik=k+(-j)=-1\neq 1$.